Částečně spořádaný soubor
V matematice, obzvláště objednávat teorii, částečně spořádaný soubor (nebo poset v krátkosti) je soubor vybavený částečnou objednávkou vztah. Tento vztah formuje intuitivní představu o uspořádání, sekvenční zpracování nebo uspořádání elementů toho souboru. Takový uspořádání nutně nepotřebuje být úhrn, to je, to nemusí garantovat vzájemnou srovnatelnost všech objektů v souboru, ale to může být. (V matematickém použití, úplný rozkaz je druh částečné objednávky.)
Formální definice
A částečná objednávka je binární relace R přes soubor P který je reflexivní, antisymmetric, a tranzitivní, tj., pro všechny a, b a c v P, my máme to:
- aRa (reflexivity);
- jestliže aRb a podprsenka pak a = b (antisymmetry); a
- jestliže aRb a bRc pak oblouk (transitivity).
Soubor s částečnou objednávkou je volán částečně spořádaný soubor. Termín uspořádaná sada je někdy také užitý na posets, jak dlouho jak to je jasné z kontextu že žádné jiné druhy objednávek jsou znamenány. Zvláště, totálně uspořádané sady mohou také být odkazoval se na jak “objednával soubory”, obzvláště v oblastech kde tyto struktury jsou více obyčejné než posets.
Příklady
- Soubor přirozených čísel vybavených lesser než nebo stejný se vztahem.
- Soubor přirozených čísel zařídil se vztahem předělů.
- Soubor podmnožin daného souboru (elektrický soubor) objednal zahrnutím.
Přísné a slabé částečné objednávky
V některých kontextech, částečná objednávka vymezila nahoře je volán slabý (nebo reflexivní) částečná objednávka. V těchto kontextech přísný (nebo irreflexive) částečná objednávka je binární relace, která je irreflexive a tranzitivní, a proto antisymmetric. Jinými slovy, pro všechny a, b, a c v P, my máme to:
- ¬ (aRa) (irreflexivity);
- jestliže a ? b a aRb pak ¬ (podprsenka) (antisymmetry); a
- jestliže aRb a bRc pak oblouk (transitivity).
Jestliže R je slabá částečná objednávka, pak R ? {(a, a) | a v P} je odpovídající přísná částečná objednávka. Podobně, každá přísná částečná objednávka má odpovídající slabou částečnou objednávku a tak definice každého je ochotně vyjádřena v termínech jiný.
Přísné částečné objednávky jsou také užitečné, protože oni si odpovídají více přímo k orientovanému acyclic grafy (dags): každá přísná částečná objednávka je dag a tranzitivní uzavření dag je oba přísná částečná objednávka a také dag sám.
Viz též: přísné slabé uspořádání
Teorie kategorie
Když považovaný za kategorii kde hom (x, y) = {(x, y) : x ? y} a (y, z)o(x, y) = (x, z), posets jsou ekvivalentní k jednomu jiný jestliže a jediný jestliže oni jsou isomorphic. V poset, nejmenší element, jestliže některý, je počáteční objekt a největší element, jestliže některý, objekt terminálu. Také, každé pre-uspořádaná sada je ekvivalentní k poset. Konečně, každý subcategory poset je izomorfismus-uzavřený.